Tullock 競賽的均衡與比較靜態：從雙人到多人競爭

2017 年 9 月，Amazon 宣布要在北美設立第二總部 HQ2，承諾帶來 5 萬個新工作，並投入超過 50 億美元興建 (CBS News, 2017)。一個月後，Amazon 表示共收到 238 份提案，來自美國 43 州、華盛頓特區、波多黎各、3 個墨西哥州與 6 個加拿大省份 (CBS News, 2017)。

這場競爭並不便宜。以入選 20 強名單的費城為例，截至 2018 年 8 月，市府相關機構在研究、行銷與廣告上累計已花費約 54.5 萬美元 (Marin, 2018)。2018 年 11 月，Amazon 公布 HQ2 落腳紐約市與維吉尼亞州的 Arlington (Silverstein, 2018)，費城並未入選，花掉的成本也不會退還。

這個情境與上一篇的 Tullock 競賽相當接近：許多參賽者投入具有成本的資源，爭奪同一份獎勵，而且不論輸贏，成本都已經發生¹。上一篇只討論兩位參賽者，但 HQ2 的參賽者遠遠不只兩位，這便引出了本篇的核心問題：

當參賽者從 2 位增加到 $n$ 位，每位參賽者的投入會增加還是減少？所有人合計的投入又會如何改變？

$N$ 人樂透競賽

在上一篇文章中，我們一開始雖介紹了一般化的形式，但為了方便而簡化為雙人 Tullock 競賽，並推導出 $Nash$ 均衡。

然而，現實中的競賽往往不只有兩位參賽者。例如政府提供一張獨家經營許可證，可能吸引五間甚至十間企業競爭；一項研究補助，也可能有數十個研究團隊同時申請。

不過這產生了新的問題：參賽人數增加，究竟會使每個人投入更多，還是使整體競賽更加激烈？

本篇將放寬參賽人數與競賽強度兩項假設，並以數學推導分析均衡投入、均衡存在條件，以及租金耗散的變化。

模型設定

模型與雙人 Tullock 競賽大同小異，最大的差別在於本篇的模型考慮 $n \geq 2$ 名參賽者組成的競賽，參賽者集合為 $N = \{1, 2, \cdots, n\}$，剩餘假設與前述模型相同。

在本節中，首先將競賽強度固定為 $r = 1$，因此 CSF 為

$\begin{equation}\label{eq:general-csf} p_i(x_1, \cdots, x_n) = \dfrac{x_i}{\sum_{j = 1}^{n} x_j} \end{equation}$

其中，分母為全體參賽者的總投入。當所有參賽者投入均為零時，定義每人獲勝機率為 $\frac{1}{n}$。

另外，為了方便後續推導，對參賽者 $i$ 而言，其他參賽者的總投入為

$X_{-i} = \sum_{j \neq i} x_{j}$

因此參賽者 $i$ 的預期報酬函數可表達為

$\begin{equation}\label{eq:general-expected-payoff} \pi_i(x_i, X_{-i}) = \dfrac{x_i}{x_i + X_{-i}} V - cx_i \end{equation}$

對稱 $Nash$ 均衡

$N$ 人樂透競賽的純策略均衡及其存在與唯一性，在文獻中已有討論 (Konrad, 2009; Szidarovszky & Okuguchi, 1997)。以下以教學的方式，重新推導對稱均衡。

求解方式與雙人模型相同：先在給定其他人投入的前提下，找出個別參賽者的最適投入，再要求每個人的最適投入彼此一致，便得到所有人採取相同投入的對稱 Nash 均衡 (symmetric Nash equilibrium)。

對參賽者 $i$ 而言，$X_{-i}$ 是給定的，因此其最適化問題為：

$\max_{x_i \geq 0} \ \pi_i(x_i, X_{-i}) = \dfrac{x_i}{x_i + X_{-i}} V - cx_i$

先考慮 $X_{-i} > 0$。勝率對自身投入的微分為：

$\dfrac{\partial}{\partial x_i} \left( \dfrac{x_i}{x_i + X_{-i}} \right) = \dfrac{X_{-i}}{(x_i + X_{-i})^2}$

因此，由式 $\eqref{eq:general-expected-payoff}$ 可得預期報酬對 $x_i$ 的一階偏導數為：

$\dfrac{\partial \pi_i}{\partial x_i} = \underbrace{\dfrac{VX_{-i}}{(x_i + X_{-i})^2}}_{\text{邊際預期收益}} - \underbrace{c}_{\text{邊際成本}}$

令其為零，得到一階條件 (FOC)：

$\begin{equation}\label{eq:n-foc} \dfrac{VX_{-i}}{(x_i + X_{-i})^2} = c \end{equation}$

此與雙人模型的一階條件形式相同，唯一的差別是對手的投入 $x_j$ 換成了其他 $n - 1$ 人的總投入 $X_{-i}$。

接著再對 $x_i$ 微分一次，檢查二階條件 (SOC)：

$\dfrac{\partial^2 \pi_i}{\partial x_i^2} = -\dfrac{2VX_{-i}}{(x_i + X_{-i})^3} < 0$

因此當 $X_{-i} > 0$ 時，預期報酬函數對 $x_i$ 嚴格凹，只要式 $\eqref{eq:n-foc}$ 有正的解，它就是唯一的最適投入；若沒有，最適投入則為角解 $x_i = 0$。

接著尋找對稱均衡，令

$x_1^* = x_2^* = \cdots = x_n^* = x^*$

此時其他人的總投入為 $X_{-i} = (n - 1)x^*$，代入式 $\eqref{eq:n-foc}$：

$\dfrac{V(n - 1)x^*}{\left[ x^* + (n - 1)x^* \right]^2} = \dfrac{V(n - 1)}{n^2 x^*} = c$

解得：

$\begin{equation}\label{eq:n-eq-input} x_i^* = \dfrac{(n - 1)V}{cn^2}, \quad i = 1, \cdots, n \end{equation}$

當 $n = 2$ 時，$x_i^* = \frac{V}{4c}$，回到上一篇的雙人均衡。

命題：$N$ 人樂透競賽的對稱 Nash 均衡

在 $n \geq 2$、完全資訊、同時決策、相同獎勵估值 $V > 0$、相同線性成本 $cx_i$ 且 $r = 1$ 的 Tullock 競賽中，存在唯一的純策略 Nash 均衡：

$(x_1^*, \cdots, x_n^*) = \left( \dfrac{(n - 1)V}{cn^2}, \cdots, \dfrac{(n - 1)V}{cn^2} \right)$

顯示證明

先考慮所有人投入皆為正的情形。令總投入為 $X = \sum_j x_j$，則 $X_{-i} = X - x_i$，每個人的一階條件為：

$\dfrac{V(X - x_i)}{X^2} = c, \quad i = 1, \cdots, n$

各式只有 $x_i$ 不同，而左式對 $x_i$ 嚴格遞減，因此所有 $x_i$ 必須相等。也就是說，任何全員正投入的純策略均衡都必須對稱，並由式 $\eqref{eq:n-eq-input}$ 唯一決定。

再排除邊界情形：

若只有一人投入為正，則他的勝率為 1。他可以降低投入而仍然必勝，成本更低，因此原本的投入不是最佳反應
若至少兩人投入為正，且至少一人投入為零，令總投入為 $X > 0$。投入為正者的一階條件為 $\frac{V(X - x_i)}{X^2} = c$，而 $X - x_i < X$，所以 $\frac{V}{X} > c$。此時投入為零者的邊際預期報酬為 $\frac{V}{X} - c > 0$，只要投入一個足夠小的正數，預期報酬便會提高，因此這不是均衡
若所有人皆不投入，每人的預期報酬為 $\frac{V}{n}$。任何一人改為投入足夠小的 $\varepsilon > 0$，勝率變為 1，預期報酬為 $V - c\varepsilon > \frac{V}{n}$，因此全員不投入不是均衡

最後驗證候選解確實是均衡。當其他人皆投入 $x^* = \frac{(n - 1)V}{cn^2} > 0$ 時，$X_{-i} = (n - 1)x^* > 0$，$\pi_i$ 對 $x_i$ 嚴格凹，且 $x_i = x^*$ 滿足一階條件，因此它是 $x_i \geq 0$ 上唯一的全域最大值，$(x_1^*, \cdots, x_n^*)$ 為 Nash 均衡。$\blacksquare$

取得均衡投入後，可以進一步計算均衡下的勝率。由於所有人投入相等：

$\begin{equation}\label{eq:n-win} p_i^* = \dfrac{x^*}{nx^*} = \dfrac{1}{n} \end{equation}$

即使每個人都投入了正數的資源，均衡下的個別勝率仍然只取決於參賽人數。

再把均衡投入代回式 $\eqref{eq:general-expected-payoff}$，得到每位參賽者的均衡預期報酬：

$\begin{equation}\label{eq:n-payoff} \pi_i^* = p_i^* V - cx_i^* = \dfrac{V}{n} - \dfrac{(n - 1)V}{n^2} = \dfrac{V}{n^2} \end{equation}$

當 $n = 2$ 時，$\pi_i^* = \frac{V}{4}$，同樣與上一篇的結果如出一轍。

參賽人數的影響

參賽人數對均衡的影響，可參見 Konrad (2009)。

有了均衡解，就可以回答本篇一開始的問題：參賽人數 $n$ 增加時，均衡會如何改變？

先看個別參賽者。根據式 $\eqref{eq:n-eq-input}$ 可知，個別均衡投入為：

$x_i^* = \dfrac{V}{c} \cdot \dfrac{n - 1}{n^2}$

為了觀察 $n$ 的影響，暫時將 $n$ 視為連續變數並對其微分：

$\begin{equation}\label{eq:n-dx} \dfrac{\partial x_i^*}{\partial n} = \dfrac{V}{c} \cdot \dfrac{n^2 - 2n(n - 1)}{n^4} = -\dfrac{V(n - 2)}{cn^3} \end{equation}$

當 $n > 2$ 時，導數嚴格小於零。也就是說，從 $n = 2$ 開始，每多一位參賽者，個別均衡投入就會變少，且 $n = 2$ 時的個別投入 $\frac{V}{4c}$ 是所有 $n \geq 2$ 中最大的。

此結果可以換一個角度理解。均衡下，每位參賽者的預期獎勵為 $p_i^* V = \frac{V}{n}$，而他實際付出的成本為：

$cx_i^* = \dfrac{(n - 1)V}{n^2} = \dfrac{n - 1}{n} \cdot \dfrac{V}{n}$

換句話說，參賽者願意花掉預期獎勵中 $\frac{n - 1}{n}$ 的比例去爭取勝利。參賽人數增加時，這個比例雖然逐漸變大，但預期獎勵 $\frac{V}{n}$ 縮水得更快，所以個別投入還是下降。

但是，個別投入減少，並不代表整體競賽成本也會減少。全部參賽者的總投入為：

$\begin{equation}\label{eq:n-total} X^* = \sum_{i=1}^{n} x_i^* = nx_i^* = \dfrac{(n - 1)V}{cn} \end{equation}$

對 $n$ 微分：

$\begin{equation}\label{eq:n-dtotal} \dfrac{\partial X^*}{\partial n} = \dfrac{V}{cn^2} > 0 \end{equation}$

總投入隨參賽人數增加而上升。若以全體參賽者實際付出的成本衡量：

$\begin{equation}\label{eq:n-tc} TC^* = cX^* = \dfrac{n - 1}{n} V \end{equation}$

當 $n = 2$ 時，$TC^* = \frac{V}{2}$，與上一篇的雙人競賽一致。

命題：參賽人數與均衡結果

在 $n \geq 2$ 的 $N$ 人樂透競賽中，隨著參賽人數 $n$ 增加：

個別均衡投入 $x_i^*$ 下降
總均衡投入 $X^*$ 與總競賽成本 $TC^*$ 上升
個別預期報酬 $\pi_i^* = \frac{V}{n^2}$ 下降

以 $V = 100$、$c = 1$ 為例：

參賽人數 $n$	個別投入 $x_i^*$	總競賽成本 $TC^*$	個別預期報酬 $\pi_i^*$
2	25.00	50.00	25.00
3	22.22	66.67	11.11
4	18.75	75.00	6.25
5	16.00	80.00	4.00
10	9.00	90.00	1.00
20	4.75	95.00	0.25

參賽人數從 2 人增加到 20 人，每位參賽者的投入從 25 降到 4.75，但全體合計的成本卻從 50 增加到 95。

我們不妨考慮 $n$ 非常大的情形。當 $n$ 趨近於無窮時：

$\begin{equation}\label{eq:n-limit} \lim_{n \to \infty} x_i^* = 0, \qquad \lim_{n \to \infty} TC^* = V \end{equation}$

每個人投入的資源趨近於零，但全體合計的成本卻逐漸逼近獎勵價值 $V$。在有限的 $n$ 之下，$TC^* = \frac{n - 1}{n}V < V$，不會剛好耗盡獎勵。

此結果呼應了上一篇提到的租金耗散：把總競賽成本占獎勵價值的比例 $\frac{TC^*}{V}$ 稱為租金耗散率，在 $r = 1$ 時，它等於 $\frac{n - 1}{n}$，會隨著參賽人數增加而趨近於 1。換句話說，每個人看似只投入一小部分資源，整體卻可能為了分配一項既定的獎勵，耗用幾乎等同於獎勵全部價值的資源。

至此，我們只考慮了 $r = 1$。如果投入對勝率的影響更敏感，參賽者是否會投入更多？均衡又是否一定存在？這便是下一節要處理的問題。

競賽強度與均衡存在性

並非所有競賽，投入與勝率之間的關係都像樂透那樣固定。

以科研經費為例。澳洲國家衛生與醫學研究委員會（NHMRC）在 2012 年 3 月的研究計畫補助，共收到 3,727 份申請，其中 731 份（21%）獲得補助。研究者估計，準備這些申請書總共耗費約 550 個工作年的研究者時間（95% 信賴區間為 513 至 589 年），換算成薪資成本約為每年 6,600 萬澳幣，而每份新申請書平均要花 38 個工作天 (Herbert et al., 2013)。在這樣的制度下，申請者有誘因把申請書寫得盡善盡美，因為投入愈多，通常被選中的機會愈高。

不過，也有資助機構嘗試把規則改成另一個方向。紐西蘭衛生研究委員會（HRC）自 2013 年起，在 Explorer Grant 計畫中採用修改版的抽籤：申請書先交由委員審查，獲得兩個以上肯定評價的才進入候選名單，接著以隨機亂數決定誰獲得經費 (Liu et al., 2020)。在候選名單之內，多花時間把申請書寫得更好，並不會提高中籤的機會²。

這兩種制度的差異，在於勝負對投入有多敏感。在 Tullock 競賽中，描述這種敏感程度的正是競賽強度 $r$，也就是上一篇一開始介紹的一般化競賽成功函數中的參數，只是為了簡化，我們一直把它固定為 $r = 1$。本節將放寬這項假設，回答兩個問題：

競賽強度 $r$ 提高時，均衡投入會如何改變？
是不是所有的 $r$，都存在全員正投入的對稱純策略均衡？

一般化的競賽成功函數

一般化的競賽成功函數與競賽強度 $r$ 的討論，可參見 Konrad (2009) 與 Corchón (2007)。

回到上一篇一開始介紹的一般化形式，放寬 $r = 1$ 的假設，考慮 $n$ 位參賽者的 CSF：

$\begin{equation}\label{eq:n-r-csf} p_i(x_1, \cdots, x_n) = \dfrac{x_i^r}{\sum_{j = 1}^{n} x_j^r}, \quad r > 0 \end{equation}$

其中 $r$ 稱為競賽強度 (contest intensity)，衡量勝率對投入差距的敏感程度。當所有人投入皆為零時，仍定義每人獲勝機率為 $\frac{1}{n}$。

不同的 $r$ 代表不同的競賽性質：

競賽強度	性質
$r \to 0$	勝率趨近 $\frac{1}{n}$，與投入無關，近似純抽籤
$0 < r < 1$	投入對勝率的影響低於比例關係
$r = 1$	勝率與相對投入成正比，即前面的樂透競賽
$r > 1$	投入的差距會被放大
$r \to \infty$	投入最多的人幾乎必勝

這與前面 HRC 的例子互相呼應：抽籤相當於勝率與投入無關，屬於 $r$ 很小的一端。

先以兩位參賽者為例，假設 $x_1 = 60$、$x_2 = 40$，勝率會隨 $r$ 改變如下：

競賽強度 $r$	$p_1$	$p_2$
0.5	0.5505	0.4495
1	0.6000	0.4000
2	0.6923	0.3077
5	0.8836	0.1164

投入不變，$r$ 愈大，投入較多的一方勝率愈高。

不過，必須區分兩件事：$r$ 提高，放大的是給定投入差距下的勝率優勢；但這並不表示均衡下的投入會跟著無限增加。參賽者會根據新的規則重新調整策略，而當 $r$ 過大時，甚至可能出現全員正投入的均衡不再存在的情形，這正是後面兩節要處理的問題。

沿用前面的符號，令其他參賽者的投入以 $r$ 次方加總：

$S_{-i} = \sum_{j \neq i} x_j^r$

則參賽者 $i$ 的預期報酬函數為：

$\begin{equation}\label{eq:n-r-payoff} \pi_i(x_i, x_{-i}) = \dfrac{x_i^r}{x_i^r + S_{-i}} V - cx_i \end{equation}$

當 $r = 1$ 時，$S_{-i} = X_{-i}$，式 $\eqref{eq:n-r-payoff}$ 便退回式 $\eqref{eq:general-expected-payoff}$。

對稱均衡的候選解

求解的步驟與 $r = 1$ 時相同：先求個別參賽者的一階條件，再代入對稱條件。給定 $S_{-i}$，勝率對自身投入的微分為：

$\dfrac{\partial}{\partial x_i} \left( \dfrac{x_i^r}{x_i^r + S_{-i}} \right) = \dfrac{rx_i^{r - 1}(x_i^r + S_{-i}) - x_i^r \cdot rx_i^{r - 1}}{(x_i^r + S_{-i})^2} = \dfrac{rx_i^{r - 1}S_{-i}}{(x_i^r + S_{-i})^2}$

因此，根據式 $\eqref{eq:n-r-payoff}$，令預期報酬對 $x_i$ 的一階偏導數為零，得到一階條件：

$\begin{equation}\label{eq:n-r-foc} \dfrac{Vrx_i^{r - 1}S_{-i}}{(x_i^r + S_{-i})^2} = c \end{equation}$

接著尋找對稱的內部解，同樣令 $x_1^* = \cdots = x_n^* = x^* > 0$，此時 $S_{-i} = (n - 1)(x^*)^r$，代入式 $\eqref{eq:n-r-foc}$：

$\dfrac{Vr(x^*)^{r - 1} \cdot (n - 1)(x^*)^r}{\left[ n(x^*)^r \right]^2} = \dfrac{Vr(n - 1)(x^*)^{2r - 1}}{n^2 (x^*)^{2r}} = \dfrac{Vr(n - 1)}{n^2 x^*} = c$

解得：

$\begin{equation}\label{eq:n-r-eq-input} x_i^* = \dfrac{r(n - 1)V}{cn^2}, \quad i = 1, \cdots, n \end{equation}$

當 $r = 1$ 時，回到式 $\eqref{eq:n-eq-input}$；當 $n = 2$ 時，$x_i^* = \frac{rV}{4c}$，與上一篇腳註中的觀察一致。

在對稱的候選解中，均衡投入與 $r$ 成線性關係：

$\dfrac{\partial x_i^*}{\partial r} = \dfrac{(n - 1)V}{cn^2} > 0$

也就是說，競賽強度愈高，候選解中每位參賽者願意投入的也愈多。

不過，式 $\eqref{eq:n-r-eq-input}$ 目前只是滿足一階條件的候選解，還不能直接稱為均衡。這是因為一階條件只是必要條件，要保證它是最適投入，還得檢查二階條件。將預期報酬對 $x_i$ 微分兩次：

$\dfrac{\partial^2 \pi_i}{\partial x_i^2} = \dfrac{Vrx_i^{r - 2}S_{-i} \left[ (r - 1)S_{-i} - (r + 1)x_i^r \right]}{(x_i^r + S_{-i})^3}$

當 $0 < r \leq 1$ 時，中括號內恆為負，預期報酬函數對 $x_i$ 嚴格凹，一階條件的解就是最佳反應
當 $r > 1$ 時，只要 $x_i$ 夠小，中括號內就會變成正的，預期報酬函數不再全域凹，一階條件的解只能保證是局部最適

因此，$r > 1$ 時還需要比較候選解與其他策略的報酬，尤其是完全退出競賽 $x_i = 0$。

均衡存在的條件

全員正投入的對稱純策略均衡的存在條件，可參見 Konrad (2009) 與 Pérez-Castrillo and Verdier (1992)。當 $r$ 超過上限時，雙人競賽中的混合策略均衡則見 Baye et al. (1994)。

2024 年夏季奧運的申辦，就是一個參賽者因為成本太高而退出的例子。2015 年 9 月，國際奧林匹克委員會（IOC）公布了 5 個候選城市：Budapest、Hamburg、Los Angeles、Paris 與 Rome。之後，Hamburg 在 2015 年 11 月 29 日公投後退出，Rome 在 2016 年 9 月 21 日以財政困難為由退出，Budapest 則在 2017 年 2 月 22 日因為反對申辦的連署人數超過公投所需而退出，最後只剩下 Paris 與 Los Angeles (Wikipedia contributors, 2026)。2017 年 7 月，IOC 決定同時選出 2024 與 2028 年的主辦城市 (Bloomberg News, 2017)，並在 9 月於利馬宣布由 Paris 主辦 2024 年、Los Angeles 主辦 2028 年 (Wikipedia contributors, 2026)。

圖 1：2024 年夏季奧運候選城市數的變化

申辦城市退出的原因，是舉辦成本與預期的好處不成比例³。同樣的邏輯也出現在 Tullock 競賽中：只要留在競賽裡的預期淨報酬為負，參賽者就會寧可退出。這正是對稱均衡存不存在的關鍵。

要判斷式 $\eqref{eq:n-r-eq-input}$ 是否為 Nash 均衡，先算候選解下每位參賽者的報酬。所有人投入相同，勝率仍為 $\frac{1}{n}$，因此根據式 $\eqref{eq:n-r-payoff}$ 可得：

$\begin{equation}\label{eq:n-r-payoff-star} \pi_i^* = \dfrac{V}{n} - cx_i^* = \dfrac{V}{n} - \dfrac{r(n - 1)V}{n^2} = \dfrac{\left[ n - r(n - 1) \right] V}{n^2} \end{equation}$

現在考慮一個偏離：參賽者 $i$ 完全退出，即 $x_i = 0$。其他人仍投入 $x^* > 0$，因此他的勝率為零，但也不必負擔成本，報酬為：

$\pi_i(0, x_{-i}^*) = 0$

如果候選解是均衡，就不能有人藉由退出而提高報酬，所以必須滿足 $\pi_i^* \geq 0$。由式 $\eqref{eq:n-r-payoff-star}$ 可知，這等價於 $n - r(n - 1) \geq 0$，也就是：

$\begin{equation}\label{eq:n-r-condition} r \leq \dfrac{n}{n - 1} \end{equation}$

這只是必要條件，接下來需要證明它也是充分條件。

命題：對稱純策略均衡的存在條件

在 $n \geq 2$、相同獎勵估值 $V > 0$、相同線性成本 $cx_i$ 的 Tullock 競賽中，存在全員投入皆為正的對稱純策略 Nash 均衡，若且唯若：

$0 < r \leq \dfrac{n}{n - 1}$

此時均衡投入為 $x_i^* = \frac{r(n - 1)V}{cn^2}$。

顯示證明

必要性。全員投入皆為正的對稱均衡，每個人的投入都在內部最適，必須滿足式 $\eqref{eq:n-r-foc}$，因此只可能是式 $\eqref{eq:n-r-eq-input}$。若 $r > \frac{n}{n - 1}$，則 $\pi_i^* < 0 = \pi_i(0, x_{-i}^*)$，退出是有利的偏離，所以候選解不是均衡，此時不存在這樣的均衡。

充分性。設 $r \leq \frac{n}{n - 1}$，其他人皆投入 $x^*$。令參賽者 $i$ 投入 $x_i = tx^*$，$t \geq 0$，並將其報酬除以 $V$。由於 $\frac{cx^*}{V} = \frac{r(n - 1)}{n^2}$，可得：

$f(t) = \dfrac{\pi_i(tx^*, x_{-i}^*)}{V} = \dfrac{t^r}{t^r + n - 1} - \dfrac{r(n - 1)}{n^2}t$

我們要證明 $t = 1$ 是 $f$ 在 $t \geq 0$ 上的最大值。對 $t$ 微分：

$f'(t) = r(n - 1) \left[ h(t) - \dfrac{1}{n^2} \right], \qquad h(t) = \dfrac{t^{r - 1}}{(t^r + n - 1)^2}$

可以驗證 $h(1) = \frac{1}{n^2}$，因此 $f'(1) = 0$。再對 $h$ 微分，其符號取決於：

$(r - 1)(n - 1) - (r + 1)t^r$

若 $0 < r \leq 1$：上式對所有 $t > 0$ 皆為負，$h$ 嚴格遞減。於是 $f'(t)$ 在 $t < 1$ 時為正、$t > 1$ 時為負，$t = 1$ 是全域最大值
若 $1 < r \leq \frac{n}{n - 1}$：上式只變號一次，在 $t_m = \left[ \frac{(r - 1)(n - 1)}{r + 1} \right]^{1/r}$ 處由正轉負，所以 $h$ 先增後減，且 $h(0^+) = 0$、$h(t) \to 0$（$t \to \infty$）。又 $t_m < 1$ 等價於 $r(n - 2) < n$，這在 $r \leq \frac{n}{n - 1}$ 時成立（$n = 2$ 時恆成立），所以 $t = 1$ 落在 $h$ 的遞減段，且 $h(t_m) > h(1) = \frac{1}{n^2}$。因此方程式 $h(t) = \frac{1}{n^2}$ 恰有兩個根：一個是 $t = 1$，另一個是 $t_0 \in (0, t_m)$。$f$ 在 $(0, t_0)$ 遞減、在 $(t_0, 1)$ 遞增、在 $(1, \infty)$ 遞減，所以在 $t \geq 0$ 上的最大值必為 $\max \{ f(0), f(1) \}$

在第二種情形中，$f(0) = 0$，而 $f(1) = \frac{n - r(n - 1)}{n^2} \geq 0$ 正是式 $\eqref{eq:n-r-condition}$，因此最大值發生在 $t = 1$。兩種情形下，$x^*$ 都是對所有非負投入的最佳反應，候選解為 Nash 均衡。$\blacksquare$

這個證明也說明了，為什麼在 $r > 1$ 時不能只靠一階條件：在 $(0, t_0)$ 這一段，報酬函數是遞減的，$t = t_0$ 是局部最小值，退出 $t = 0$ 才是這一側的最佳選擇。

均衡下，每位參賽者的預期獎勵是 $\frac{V}{n}$，而他付出的成本為：

$cx_i^* = \dfrac{r(n - 1)}{n} \cdot \dfrac{V}{n}$

也就是說，每位參賽者會把預期獎勵的 $\frac{r(n - 1)}{n}$ 倍花在競爭上。式 $\eqref{eq:n-r-condition}$ 的意思是：這個比例不能超過 1，也就是沒有人會花比預期獎勵更多的錢去爭取獎勵。$r$ 愈大，投入對勝率愈關鍵，每個人愈不敢少投；$n$ 愈大，對手的總投入愈多，也愈要多投入才追得上。兩者都會把投入往上推，一旦超過預期獎勵，留在競賽裡就是賠本，退出反而比較好，就像那些選擇退出申辦的城市一樣。

因此，參賽人數愈多，能夠維持全員投入的競賽強度上限就愈低：

參賽人數 $n$	最大競賽強度 $\frac{n}{n - 1}$
2	2.000
3	1.500
4	1.333
5	1.250
10	1.111
20	1.053

例如，當 $r = 1.4$ 時，三人競賽滿足 $1.4 \leq 1.5$，每人的均衡報酬為 $\frac{[3 - 1.4 \times 2]V}{9} = \frac{0.2V}{9} > 0$；但四人競賽不滿足 $1.4 \leq 1.333$，同樣的算法得到 $\frac{[4 - 1.4 \times 3]V}{16} = -\frac{0.2V}{16} < 0$，每個人都寧願退出。

最後要強調，這裡證明的只是全員正投入的對稱純策略均衡的存在條件。當 $r > \frac{n}{n - 1}$ 時，這種均衡不存在，並不表示完全沒有均衡；可能存在混合策略等其他形式的均衡，雙人競賽的情形見上方引用的文獻。

租金耗散

比特幣的挖礦是一場現實中的 Tullock 競賽。礦工投入運算能力，競爭下一個區塊的獎勵，找到區塊的機率與自己的運算能力占全網的比例成正比 (Schär, 2020)。而區塊獎勵是由協定給定的，與礦工投入多少無關，所以礦工投入的電力與設備，就是為了爭奪獎勵而花掉的資源。劍橋大學另類金融中心（CCAF）的估計是：2022 年比特幣挖礦的年耗電量約為 95.5 TWh，約占全球用電量的 0.38% (Neumueller, 2023)。

這筆電力究竟相對於獎勵是多是少，正是這一節要回答的問題⁴。

租金耗散率

上一篇已將總競賽成本占獎勵價值的比例定義為租金耗散率，而在 $n$ 位參賽者的競賽中，它就是：

$D = \dfrac{\sum_{i = 1}^{n} cx_i}{V}$

在對稱均衡中，每個人的投入都是 $x^* = \frac{r(n - 1)V}{cn^2}$，因此：

$\begin{equation}\label{eq:n-dissipation} D^* = \dfrac{n \cdot cx^*}{V} = \dfrac{n}{V} \cdot \dfrac{r(n - 1)V}{n^2} = \dfrac{r(n - 1)}{n} \end{equation}$

由式 $\eqref{eq:n-dissipation}$ 可知，租金耗散率只取決於競賽強度 $r$ 與參賽人數 $n$，與獎勵價值 $V$ 和單位成本 $c$ 無關。這是因為 $V$ 與 $c$ 的變動，會被均衡投入同比例的調整抵銷，與 Schär (2020) 在 $r = 1$ 時的結論一致。

再把式 $\eqref{eq:n-dissipation}$ 代回式 $\eqref{eq:n-r-payoff-star}$，可以得到每位參賽者的均衡報酬：

$\pi_i^* = \dfrac{V}{n} - cx^* = \dfrac{V}{n} - D^* \cdot \dfrac{V}{n} = \dfrac{(1 - D^*)V}{n}$

也就是說，獎勵 $V$ 之中有 $D^*V$ 被爭奪花掉，只剩下 $(1 - D^*)V$ 由 $n$ 位參賽者平分。以下是幾組參數下的 $D^*$：

參賽人數 $n$	$r = 0.5$	$r = 1$	$r = 1.5$
2	0.250	0.500	0.750
3	0.333	0.667	1.000
5	0.400	0.800	—
10	0.450	0.900	—
$\infty$	0.500	1.000	—

表中的 — 代表 $r > \frac{n}{n - 1}$，不存在全員正投入的對稱純策略均衡，見前一節。

從表可以看出兩個趨勢：

固定 $r$，$D^*$ 隨 $n$ 遞增。人愈多，花在爭奪上的比例愈高
固定 $n$，$D^*$ 隨 $r$ 遞增。投入愈能左右勝負，愈多資源被用來爭奪

完全租金耗散的邊界

租金耗散率能不能超過 1？也就是說，所有參賽者合計花掉的錢，會不會比獎勵本身還多？

先看式 $\eqref{eq:n-dissipation}$。如果不管存在條件，直接把候選解當成均衡，在 $r > \frac{n}{n - 1}$ 時會得到 $D^* = \frac{r(n - 1)}{n} > 1$，看起來出現了過度耗散。

但上一節已經證明，此時每位參賽者的預期報酬為負（式 $\eqref{eq:n-r-payoff-star}$），完全退出才是更好的選擇，所以這個候選解根本不是均衡。換句話說，這裡的過度耗散只是把一階條件的解誤認為均衡所造成的假象。只要限定在均衡存在的範圍內，由式 $\eqref{eq:n-r-condition}$ 即得：

$D^* = \dfrac{r(n - 1)}{n} \leq 1$

因此，租金耗散率不超過 1，與均衡存在的條件其實是同一件事：沒有人會花超過預期獎勵的錢去爭取獎勵，因為他永遠可以選擇不參加。邊界 $D^* = 1$ 發生在 $r = \frac{n}{n - 1}$，也就是 $n = \frac{r}{r - 1}$（$r > 1$）。此時每位參賽者的均衡報酬為零，獎勵被完全耗散。

這個結論在雙人競賽中有更完整的版本。Baye et al. (1994) 指出，$r > 2$ 時對稱一階條件的解會讓預期報酬為負，不如不投入，但總投入又超過獎勵，因此只是過度耗散的假象。他們進一步證明，$r > 2$ 時雖然沒有這種對稱純策略均衡，卻存在對稱的混合策略均衡，而且過度耗散不會出現在任何 Nash 均衡中。$n = 2$ 時，式 $\eqref{eq:n-r-condition}$ 的上限正是 $r \leq 2$，與他們的分界一致。本文只處理對稱純策略均衡，混合策略均衡下的耗散不在討論範圍內。

另一個極端是自由進入。在 $r = 1$ 時，不論有多少人參賽，每個人的均衡報酬都是 $\pi_i^* = \frac{V}{n^2} > 0$，只要進入沒有門檻，就會一直有新參賽者加入。於是 $n \to \infty$，而：

$\lim_{n \to \infty} D^* = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n - 1}{n} = 1$

這正是完全租金耗散：在自由進入的情況下，整筆獎勵都會被爭奪的成本耗盡。Schär (2020) 也指出，在比特幣挖礦的模型中，耗散率會隨潛在礦工人數增加而趨近 1。

最後一點，$D^* \leq 1$ 是在每位參賽者各自負擔自己的成本時才成立。Schär (2020) 的分析顯示，若有部分算力的成本不由決策者本人承擔（例如受駭客控制的殭屍網路），耗散率就可能超過 1，因為這些參賽者無法以退出來避免損失。

數值模擬

前面的結果都是解析解。這一節換個方式驗證：不套用任何公式，直接用數值方法求出每位參賽者的最佳反應，再讓所有人輪流對其他人的投入做最佳反應，重複到沒有人想改變為止，所得的點就是 Nash 均衡。最後再與解析解比較。

下方的模擬器可以調整參賽人數 $n$、競賽強度 $r$、獎勵 $V$ 與單位成本 $c$，結果會在瀏覽器中即時計算。Python 版的程式碼也可以下載後自行執行。

參賽人數與均衡投入

先看隨人數變化分頁。橫軸是參賽人數 $n$，實線是租金耗散率 $D^* = \frac{r(n - 1)}{n}$，虛線是每位參賽者的成本占獎勵的比例 $\frac{cx_i^*}{V} = \frac{r(n - 1)}{n^2}$，圓點則是不用公式、直接用數值方法解出來的均衡。

可以試著調整看看：

預設值 $r = 1$、$V = 100$、$c = 1$ 時，所有圓點都落在曲線上。$n = 5$ 的數值均衡為 $x_i^* = 16$，租金耗散率為 $0.8$，個別預期報酬為 $4 = \frac{V}{n^2}$，與式 $\eqref{eq:n-eq-input}$、式 $\eqref{eq:n-dissipation}$、式 $\eqref{eq:n-payoff}$ 一致。
拉高 $n$，虛線下降、實線逼近 1：每個人付出的比例愈來愈小，合計卻愈來愈接近整個獎勵。
把 $n$ 拉到 $1000$：$x_i^* = \frac{(n - 1)V}{cn^2} \approx 0.0999$，租金耗散率為 $0.999$，個別預期報酬只剩 $\frac{V}{n^2} = 0.0001$，與式 $\eqref{eq:n-limit}$ 的極限一致。$n$ 這麼大時，逐人迭代太慢，所以模擬器只求所有人投入相同的對稱均衡，也就是解 $BR(x) = x$，橫軸也改成對數刻度。
切到迭代過程分頁，每條線代表一位參賽者的投入。起點刻意設成彼此不同，但所有線最後都收斂到同一個值，這也驗證了命題中均衡是對稱的。

競賽強度與存在範圍

把 $r$ 調到 $1.4$，再比較 $n = 3$ 與 $n = 4$。

$n = 3$ 時，$1.4 \leq 1.5$，存在條件成立。數值均衡為 $x_i^* \approx 31.11$，個別預期報酬為 $2.22 = \frac{0.2V}{9}$。
$n = 4$ 時，$1.4 > 1.333$，存在條件不成立。切到偏離檢驗分頁，這條曲線是在其他人都投入候選解 $x^*$ 時，一位參賽者改為投入 $tx^*$ 的報酬。空心圓點標出 $t = 1$，此時報酬低於零，約為 $-0.0125V$，而實心圓點落在 $t = 0$，也就是退出才是最好的選擇，正是式 $\eqref{eq:n-r-payoff-star}$ 為負的情形。

不過，這並不表示 $n = 4$ 時完全沒有均衡。回到隨人數變化分頁，$n = 4$ 的點變成空心，表示只有部分參賽者投入：3 位各投入 $31.11$、1 位退出，租金耗散率為 $0.933$，沒有超過 1。這與前一節的提醒一致：式 $\eqref{eq:n-r-condition}$ 只是全員正投入的對稱純策略均衡的存在條件。

再把 $n$ 往右拉，空心點排成一條水平線。$n$ 再多，均衡仍是 3 人投入、其餘退出，租金耗散率停在 $0.933$。如果硬套公式 $D = \frac{r(n - 1)}{n}$，$n$ 夠大時會超過 1，但那已經不是均衡，因為多出來的虧損，退出就能避免。把 $r$ 調到 $1.05$ 可以看到同樣的形狀：全員投入的範圍擴大到 $n = 20$，之後同樣變成水平線，租金耗散率停在約 $0.997$。

最後，把 $n$ 調到 $3$、$r$ 調到邊界 $1.5$。全員投入的對稱解仍然存在，但報酬剛好為零，偏離檢驗分頁中 $t = 1$ 與 $t = 0$ 一樣高。此時從不對稱的起點出發，迭代停在 $x = (0, 37.5, 37.5)$，是另一個均衡。$r > 1$ 時均衡不止一個，迭代停在哪一個，取決於起點。

起點可以自己換。預設的起點離均衡很遠；勾選從公式解附近出發後，起點改成公式解的上下 20% 之內。例如 $V = 30$、$c = 2.9$、$r = 1.05$、$n = 12$，預設起點會停在 11 位投入、1 位退出的均衡，勾選後則收斂到全員投入的對稱解 $x^* \approx 0.83$。反過來，$r = 1.4$、$n = 3$ 在預設起點收斂到對稱解，勾選後卻會停在 $x = (0, 35, 35)$。兩種結果都是均衡，只是被不同的起點帶到不同的地方。

結論

¹. HQ2 與模型並非完全對應。勝負由 Amazon 評估決定，不是 $\frac{x_i}{\sum_j x_j}$ 這樣的機率函數；最後總部也拆成兩處，獎勵並非不可分割 (Silverstein, 2018)。城市承諾的稅務優惠是移轉給 Amazon 的錢，不等於資源耗費，只有顧問、研究與行銷這類支出才對應到投入 $x_i$。 ↩

². 抽籤只發生在通過審查的申請書之間，申請者仍須先寫出夠好的申請書才能過門檻，所以這並不等於模型中的 $r \to 0$。事實上，在 HRC 的申請者問卷中，75% 的受訪者表示抽籤並沒有改變他們準備申請書的時間 (Liu et al., 2020)。 ↩

³. 申辦城市退出的主因，是舉辦成本與政治上的不確定 (Wikipedia contributors, 2026)，並不是爭奪獎勵時所投入的資源，所以這個例子與模型並不直接對應。這裡只借用「預期淨報酬為負時，參賽者會選擇退出」的直覺。 ↩

⁴. 本例與模型有幾處不同：礦工的成本並不全是電費，也包含設備；各礦工的成本差異很大；挖礦所投入的算力同時也在保護區塊鏈的安全，並非全部是浪費 (Schär, 2020)。此外，95.5 TWh 只是耗電量，要算出耗散率，還需要電價與獎勵的市值，這裡並沒有計算。 ↩

參考文獻

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Silverstein, J. (2018, November 15). Amazon new HQ2: How will Amazon use the data it got from cities bidding on its HQ2? CBS News. https://www.cbsnews.com/news/amazon-new-hq2-bidding-process-gave-the-company-priceless-data-on-cities-how-will-it-be-used/

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