Tullock 競賽基礎理論：從尋租行為到 Nash 均衡 | 岳氏礦泉水

2020 年，美國前紐約市長 Michael Bloomberg 參加民主黨總統初選。根據競選團隊的最終財務申報，他在約三個月的競選期間花費近 9.4 億美元 (Clark & Barrett, 2020)¹。然而，他在 Super Tuesday 的隔天宣布退選，整場初選僅贏下美屬薩摩亞一處 (Ewall-Wice, 2020)。

Bloomberg，2020 年 2 月。Gage Skidmore，CC BY-SA 2.0

投入大量資源，卻未必換得勝利，這正是傳統理論不容易解釋的現象。

在傳統個體經濟理論中，我們時常研究消費者如何最大化效用、廠商如何最大化利潤，以及市場如何透過價格機制分配資源。

然而，現實生活中仍存在許多無法僅透過價格機制解釋的競爭行為，例如：

• 兩間企業投入資金遊說政府，希望獲得獨家經營許可
• 兩個政黨投入競選資源，希望贏得選舉
• 兩間公司投入研發經費，希望率先取得一項專利
• 兩個團體投入資源，爭取政府補助或政策支持

上述案例有一項共同特徵：參與者必須投入具有成本的資源，但投入最多的一方不必然獲勝。

以選舉為例，政黨增加競選經費，通常可以提升勝選機率，但並不代表支出最多的政黨必然獲勝。

因此，我們需要一個能夠描述投入如何影響勝率的理論模型，這正是競賽理論 (contest theory) 希望解決與探究的問題。

從尋租到競賽

競賽理論的重要思想來源之一是尋租理論 (rent-seeking theory)。

經濟學中的租指的經濟租 (economic rent)，並非日常語言中的房屋租金²。尋租則是指經濟主體為了取得或維持特定經濟利益，而投入資源影響利益分配的行為。

定義：尋租

政府對經濟活動的管制會創造出租 (rent)，經濟主體為了取得這些租而投入資源互相競爭的行為 (Krueger, 1974, p. 291)。

例如：政府準備發放一張價值 1,000 萬元的獨家營業許可。兩間企業都想獲得這張許可，因此分別雇用顧問、進行政策遊說，並投入大量行政與法律資源。即使最後只有一間企業成功，兩間企業投入的競爭成本都已經發生。

這便產生了一個重要的經濟學問題：

一項既定的經濟利益，其價值可能只有 1,000 萬元，但社會為了決定誰取得這項利益，可能額外消耗大量資源。

傳統福利分析若只關注價格扭曲造成的無謂損失，可能低估此類競爭的社會成本。

Tullock (1967) 在 The Welfare Costs of Tariffs, Monopolies, and Theft 中，便強調了這類資源耗費在福利分析中的重要性。其後 Krueger (1974) 進一步發展尋租社會的政治經濟學分析。

Tullock (1980) 的 Efficient Rent Seeking 則成為機率式尋租競賽模型的重要經典文獻。我可以將 Tullock 競賽的研究問題濃縮為三個：

1. 個別投入如何決定勝率？
2. 理性的參與者會投入多少資源？
3. 個體最適的競爭結果是否具有社會效率？

Tullock 競賽基本模型

考慮兩位參與者 $N$，兩人共同競爭一項不可分割 (indivisible) 的獎勵，價值為 $V > 0$。每名參與者 $i$ 選擇投入 $x_i \in [0, \infty)$，可代表投入的金錢、努力、時間或其他競爭資源。

為簡化分析，假設投入成本為線性，即 $C_i(x_i) = cx_i$，且 $c \in R_{+}$ 表示每單位投入的邊際成本。

本文採用以下標準假設：

變數	假設
參與者	兩人，$i = 1, 2$
獎勵	單一、不可分割，價值 $V$
行動順序	同時決策
資訊結構	完全資訊
策略空間	$x_i \geq 0$
成本	$C_i(x_i) = cx_i$
風險態度	風險中立
支付規則	不論輸贏，皆須承擔投入成本

競賽成功函數

接著我們需要建立一個函數，用於描述投入如何轉換為勝率，此函數稱為競賽成功函數 (contest success function, CSF)。Tullock 競賽常見的 CSF 形式為：

$$\begin{equation}\label{eq:general-csf} p_{i} (x_i,\cdots,x_n) = \dfrac{x_i^{r}}{\sum_{j = 1}^{n} x_{j}^{r}} \end{equation}$$

其中各項符號的意義如下：

• $p_i$：參與者 $i$ 的勝率
• $x_i$：參與者 $i$ 的投入
• $x_j$：對手的投入
• $r$：衡量實力差距程度

式 $\eqref{eq:general-csf}$為最一般的情況。本文僅考慮兩名參賽者，因此可改寫為：

$$\begin{equation}\label{eq:two-contestor-csf} p_{i} (x_i, x_j) = \dfrac{x_i^{r}}{x_{i}^{r} + x_{j}^{r}} \end{equation}$$

當兩人均不投入的情況下，通常會額外定義

$$p_1(0, 0) = p_2(0, 0) = \dfrac{1}{2}$$

亦即在沒有投入的情況下，以相同機率決定勝負³。

衡量實力差距

在 CSF 中，參數 $r$ 可理解為競賽對投入差異的敏感程度，用於衡量是否有辦法區隔出參賽者的實力高低。

若具有較高的 $r$，意味著競賽結果高度取決於參賽者的真實實力或付出的努力，實力較強或更努力的人，勝出的機率顯著提高；較低的 $r$ 則意味著競賽中含有大量的運氣、隨機雜訊或不完美的評審機制。在這種情況下，實力差距被模糊化，即使實力有差，每個人勝出的機率卻差不多。

為了避免討論複雜的情況，本文僅採用 $r = 1$，因此式 $\eqref{eq:two-contestor-csf}$可簡化為

$$p_{i} (x_i, x_j) = \dfrac{x_i}{x_{i} + x_{j}}$$

Konrad (2009) 與 Corchón (2007) 將其稱為樂透競賽 (lottery contest)，因此可以將其理解為購買樂透的數量：

範例

假設參與者 1 投入 60、參與者 2 投入 40，則

$$\begin{aligned} p_{1} &= \dfrac{60}{60 + 40} = 0.6\\ p_{2} &= \dfrac{40}{60 + 40} = 0.4 \end{aligned}$$

注意到此模型衡量的是相對投入，而非絕對投入——當雙方投入同時加倍時，雙方勝率仍會完全相同。

報酬與預期報酬

無論輸贏，參與者 $i$ 都必須付出成本 $cx_i$。因此報酬取決於競賽結果：

• 獲勝（機率為 $p_i$）：獲得獎勵 $V$，扣除成本後的報酬為 $V - cx_i$
• 落敗（機率為 $1 - p_i$）：沒有獎勵，報酬為 $-cx_i$

由於勝負具有隨機性，參與者無法事先確定自己會落在哪一種結果。將各結果乘上其機率後加總，得到預期報酬 (expected payoff)：

$$\underbrace{p_{i}(x_i, x_j)V}_{\text{預期獎勵}} - \underbrace{cx_{i}}_{\text{投入成本}}$$

在風險中立的假設下⁴，參與者只在乎預期報酬，因此參與者 $i$ 的效用函數可表達為：

$$\begin{equation}\label{eq:payoff} \pi_{i} (x_{i}, x_{j}) = \dfrac{x_{i}}{x_{i} + x_{j}} V - cx_{i} \end{equation}$$

其中 $x_{i} + x_{j} > 0$，即至少有一人投入為正（否則勝率沒有定義）。投入越多，獲勝的機率越高；但投入越多，需要付出的成本也越高。因此，理性的參與者不會無限制地提高投入，而是尋找一個能夠最大化預期報酬的投入水準。

雙人對稱 Tullock 競賽

有了預期報酬函數，就可以求解這個賽局了。雙方同時決定投入，各自都在給定對手投入的前提下，選擇能最大化自己預期報酬的水準。當沒有人能夠透過單獨改變投入來提高自己的預期報酬時，則可求得 Nash 均衡⁵。

個別最適化問題

對參與者 $i$ 而言，對手的投入 $x_j$ 是給定的，因此其面臨的最適化問題為：

$$\max_{x_i \geq 0} \ \pi_i(x_i, x_j) = \dfrac{x_i}{x_i + x_j} V - cx_i$$

先考慮 $x_j > 0$。勝率對自身投入的微分為：

$$\dfrac{\partial}{\partial x_i} \left( \dfrac{x_i}{x_i + x_j} \right) = \dfrac{(x_i + x_j) - x_i}{(x_i + x_j)^2} = \dfrac{x_j}{(x_i + x_j)^2}$$

因此預期報酬對 $x_i$ 的一階偏導數為：

$$\dfrac{\partial \pi_i}{\partial x_i} = \underbrace{\dfrac{Vx_j}{(x_i + x_j)^2}}_{\text{邊際預期收益}} - \underbrace{c}_{\text{邊際成本}}$$

參與者在決定是否增加投入時，會比較多投入一單位所帶來的邊際預期收益與邊際成本：

• 若邊際預期收益大於 $c$，增加投入能提升預期報酬
• 若邊際預期收益小於 $c$，繼續增加投入便不划算

因此，內部最適解必須滿足一階條件 (first-order condition, FOC)：

$$\begin{equation}\label{eq:foc} \dfrac{Vx_j}{(x_i + x_j)^2} = c \end{equation}$$

二階條件

一階條件只能找出候選的最適解，還需要檢查二階條件 (second-order condition, SOC)。對 $x_i$ 再微分一次：

$$\dfrac{\partial^2 \pi_i}{\partial x_i^2} = -\dfrac{2Vx_j}{(x_i + x_j)^3} < 0$$

由於 $V > 0$ 且 $x_j > 0$，預期報酬函數對自身投入嚴格凹 (strictly concave)。因此，只要一階條件的解為正，它就是唯一的最適投入；若沒有正的解，最適投入則為角解 $x_i = 0$。

最佳反應函數

由式 $\eqref{eq:foc}$可得：

$$(x_i + x_j)^2 = \dfrac{Vx_j}{c}$$

投入非負，故：

$$x_i + x_j = \sqrt{\dfrac{Vx_j}{c}}$$

移項後再加上 $x_i \geq 0$ 的限制，便得到最佳反應函數 (best response function)：

$$\begin{equation}\label{eq:br} BR_i(x_j) = \max \left\{ 0, \sqrt{\dfrac{Vx_j}{c}} - x_j \right\}, \quad x_j > 0 \end{equation}$$

它告訴我們：給定對手投入多少，參與者 $i$ 的最適投入是多少。

值得注意的是，對手投入增加，不一定會使我們跟著增加投入。對 $x_j$ 微分可知，$BR_i$ 在 $x_j = \frac{V}{4c}$ 時達到最大，超過 $x_j = \frac{V}{c}$ 後則變為零：

• 對手投入較少時，他多投入一些會刺激我們也多投入，兩者互為策略互補 (strategic complements)
• 對手投入已經很多時，繼續追趕不再划算，我們反而會減少投入，兩者變為策略替代 (strategic substitutes)

因此，Tullock 競賽的策略關係並非永遠互補，也非永遠替代。

在 $x_j = 0$ 時，式 $\eqref{eq:br}$不能直接套用。依照前面零投入平手的設定，只要對手完全不投入，我們任何一個正的投入都能確保獲勝，且投入越小成本越低；但不存在最小的正數，因此這時沒有最佳反應。這個邊界問題不影響下面的正投入均衡。

對稱 Nash 均衡

兩位參與者的獎勵估值與成本函數完全相同，因此先尋找對稱均衡 $x_1^* = x_2^* = x^*$。代入式 $\eqref{eq:foc}$：

$$\dfrac{Vx^*}{(2x^*)^2} = \dfrac{V}{4x^*} = c$$

解得：

$$\begin{equation}\label{eq:eq-input} x_1^* = x_2^* = \dfrac{V}{4c} \end{equation}$$

此即雙人對稱樂透競賽的均衡投入。

定理：對稱 Nash 均衡

在雙人、完全資訊、同時決策、相同獎勵估值 $V > 0$、相同線性成本 $cx_i$ 且 $r = 1$ 的 Tullock 競賽中，存在唯一的純策略 Nash 均衡：

$$(x_1^*, x_2^*) = \left( \dfrac{V}{4c}, \dfrac{V}{4c} \right)$$

顯示證明

先考慮兩人投入皆為正的情形，兩人的一階條件分別為：

$$\begin{aligned} \dfrac{Vx_2}{(x_1 + x_2)^2} &= c\\ \dfrac{Vx_1}{(x_1 + x_2)^2} &= c \end{aligned}$$

兩式左側分母相同，因此 $x_1 = x_2$。也就是說，任何正投入的純策略均衡都必須對稱，並由式 $\eqref{eq:eq-input}$唯一決定。

再排除邊界情形：

• 若只有一人投入為正，例如 $x_1 > 0 = x_2$，則參與者 1 的勝率為 1。他可以把投入減半而仍然必勝，成本更低，因此原本的投入不是最佳反應
• 若兩人皆不投入，每人的預期報酬為 $\frac{V}{2}$。任何一人改為投入足夠小的 $\varepsilon > 0$，勝率變為 1，預期報酬為 $V - c\varepsilon > \frac{V}{2}$，因此 $(0, 0)$ 不是均衡

最後驗證候選解確實是均衡。當 $x_j = \frac{V}{4c} > 0$ 時，$\pi_i$ 對 $x_i$ 嚴格凹，且 $x_i = \frac{V}{4c}$ 滿足一階條件，因此它是 $x_i \geq 0$ 上唯一的全域最大值，$(x_1^*, x_2^*)$ 為 Nash 均衡。$\blacksquare$

均衡分析

得到均衡投入後，我們可以進一步分析均衡下的勝率、報酬與競賽成本。

均衡勝率

由於均衡投入相等：

$$p_1^* = p_2^* = \dfrac{x^*}{x^* + x^*} = \dfrac{1}{2}$$

兩位參與者都投入了正數的資源，卻仍然各有一半的機率獲勝。這並不是參與者決策錯誤，而是因為雙方都知道對手會調整投入，最後彼此抵銷了對方的優勢。

均衡預期報酬

把均衡投入代回式 $\eqref{eq:payoff}$：

$$\begin{equation}\label{eq:payoff-star} \pi_i^* = p_i^* V - cx_i^* = \dfrac{V}{2} - c \cdot \dfrac{V}{4c} = \dfrac{V}{4} \end{equation}$$

每位參與者的均衡預期報酬等於獎勵價值的四分之一。

租金耗散

兩人合計的投入成本為：

$$TC = \sum_{i=1}^{2} cx_i^* = 2c \cdot \dfrac{V}{4c} = \dfrac{V}{2}$$

將總競賽成本占獎勵價值的比例定義為租金耗散率 (rent dissipation rate)：

$$\begin{equation}\label{eq:dissipation} D = \dfrac{\sum_{i} C_i(x_i^*)}{V} = \dfrac{1}{2} \end{equation}$$

在標準的雙人對稱樂透競賽中，參與者合計會花費相當於獎勵價值 50% 的資源來爭奪它。這回應了開頭的問題：即使每個人都理性行事，競爭本身仍會耗用可觀的資源。

不過，不能直接把所有競賽投入都視為社會福利損失。如果投入具有生產性的外部效益（例如研發競賽），就必須把這些效益納入福利分析。只有在投入純粹是為了爭奪既定的租，且成本代表真實的資源消耗時，這些支出才能解讀為相應的社會資源耗費。

比較靜態

最後觀察參數變動對均衡的影響。由式 $\eqref{eq:eq-input}$，對獎勵價值 $V$ 與邊際成本 $c$ 分別微分：

$$\begin{aligned} \dfrac{\partial x_i^*}{\partial V} &= \dfrac{1}{4c} > 0\\ \dfrac{\partial x_i^*}{\partial c} &= -\dfrac{V}{4c^2} < 0 \end{aligned}$$

獎勵價值越高，均衡投入越多；投入的邊際成本越高，均衡投入越少。

成本變高時，參與者會減少投入，那麼他實際付出的成本是不是也會跟著下降？把均衡投入乘上單位成本 $c$：

$$cx_i^* = c \cdot \dfrac{V}{4c} = \dfrac{V}{4}$$

答案是不會。單位投入的成本上升，參與者減少的是投入的數量，但均衡下每位參與者付出的成本恆為 $\frac{V}{4}$，與 $c$ 無關——單位成本 $c$ 越高，每投入一單位的代價越大，但均衡投入 $x_i^*$ 也同比例減少，兩者相乘剛好抵銷⁶。

數值模擬

前面的結果都是解析解。這一節換個方式驗證：不套用任何公式，直接用數值方法求出最佳反應，再讓雙方輪流對彼此的投入做最佳反應，重複到沒有人想改變為止，所得的點就是 Nash 均衡。最後再與解析解比較。

下方的模擬器可以直接調整參數，結果會在瀏覽器中即時計算。Python 版的程式碼也可以下載後自行執行。

圖的橫軸為 $x_1$，縱軸為 $x_2$。實線是參與者 1 的最佳反應 $x_1 = BR(x_2)$，虛線是參與者 2 的最佳反應 $x_2 = BR(x_1)$。兩條線的交點，就是雙方都沒有誘因單獨改變投入的 Nash 均衡。

切換到預期報酬分頁，則是參與者 1 在對手停在均衡投入 $x_2^*$ 時，預期報酬 $\pi_1(x_1, x_2^*)$ 如何隨自己的投入 $x_1$ 變化。曲線的最高點正好落在 $x_1^*$，這就是最佳反應的定義。兩張圖都可以下載成 SVG、PNG 或 PDF。

可以試著調整看看：

• 預設值 $V = 100$、$c = 1$、$r = 1$ 時，交點落在 $(25, 25)$，與 $\frac{V}{4c}$ 一致，勝率為 $\frac{1}{2}$，租金耗散率為 $\frac{1}{2}$。
• 調整 $V$ 或 $c$，數值均衡始終與公式值相同。$c$ 變大時均衡投入減少，但租金耗散率仍是 $\frac{1}{2}$，這對應到前一節的結論：均衡下每位參與者付出的成本恆為 $\frac{V}{4}$。
• 也可以把 $r$ 調離 1，看看畫面如何變化⁷。

結論

從 Tullock 競賽的基本模型，我們得到以下結果：

分析對象	均衡結果
個別投入	$x_i^* = \frac{V}{4c}$
個別勝率	$p_i^* = \frac{1}{2}$
個別預期報酬	$\pi_i^* = \frac{V}{4}$
租金耗散率	$D = \frac{1}{2}$

回到開頭的三個問題：前兩個問題已由均衡投入與均衡勝率回答；第三個問題，則由租金耗散率提供了基本的衡量方式。

這些結果建立在相當嚴格的假設上：只有兩位參與者、估值與成本皆相同、同時決策、完全資訊，且 $r = 1$。因此，比起記住公式，更值得記住的是背後的策略性邏輯：

參與者是否應該增加投入，不只取決於獎勵有多大，也取決於對手投入多少，以及自己增加投入後能提高多少獲勝機率。

當每個人都想藉由提高投入來增加勝率，理性的個別決策便可能共同造成可觀的競賽成本。這也是 Tullock 競賽成為尋租理論 (Krueger, 1974; Tullock, 1980)、政治競爭、公共選擇與衝突經濟學重要分析工具的原因。

¹. 此為競選團隊最終財務申報的數字 (Clark & Barrett, 2020)。他退選當天，CBS 依廣告追蹤公司 Kantar/CMAG 的資料指出，其廣告支出已超過 5.7 億美元 (Ewall-Wice, 2020)。兩者統計的範圍與時點不同，不宜直接相比。 ↩

². 經濟租是指要素所得中，超過維持該要素目前用途所需的部分，此一概念可追溯到 Ricardo 的地租理論 (Ricardo, 1817, chap. 2)。 ↩

³. 此為常見的約定，只影響兩人皆不投入的邊界情形，不影響下文正投入的均衡。 ↩

⁴. 若參與者風險趨避，要最大化的是期望效用而非預期報酬，均衡投入會因此不同。 ↩

⁵. 本文只討論純策略均衡，即每位參與者確定地選擇一個投入，不考慮隨機化的策略。 ↩

⁶. 此結論依賴對稱性與線性成本的假設，不能任意推廣到其他競賽模型。 ↩

⁷. 這會超出本文的模型，但仍可觀察。在 $r \le 2$ 的範圍內，均衡依然對稱，數值解為 $\frac{rV}{4c}$，租金耗散率為 $\frac{r}{2}$。這裡沒有推導，只作為模擬的觀察。模擬器把 $r$ 的上限設為 2，因為 $r > 2$ 時均衡的預期報酬 $\frac{(2-r)V}{4}$ 為負，不存在純策略均衡。 ↩

參考文獻

Clark, D., & Barrett, M. (2020, March 20). Bloomberg spent nearly $1 billion on his three-month presidential campaign. NBC News. https://www.nbcnews.com/politics/2020-election/bloomberg-spent-nearly-1-billion-his-three-month-presidential-campaign-n1165306

Corchón, L. C. (2007). The theory of contests: A survey. Review of Economic Design, 11(2), 69–100.

Ewall-Wice, S. (2020, March 4). How much did Mike Bloomberg spend per delegate? About $18 million. CBS News. https://www.cbsnews.com/news/bloomberg-delegate-18-million

Konrad, K. A. (2009). Strategy and dynamics in contests. Oxford University Press.

Krueger, A. O. (1974). The political economy of the rent-seeking society. American Economic Review, 64(3), 291–303. https://www.jstor.org/stable/1808883

Ricardo, D. (1817). On the principles of political economy and taxation. John Murray.

Tullock, G. (1967). The welfare costs of tariffs, monopolies, and theft. Western Economic Journal, 5(3), 224–232. https://doi.org/10.1111/j.1465-7295.1967.tb01923.x

Tullock, G. (1980). Efficient rent seeking. In J. M. Buchanan, R. D. Tollison, & G. Tullock (Eds.), Toward a theory of the rent-seeking society (pp. 97–112). Texas A&M University Press.